Algèbre Linéaire

La décomposition en valeurs singulières (SVD) est l'outil le plus puissant de l'algèbre linéaire moderne. Elle permet de compresser des images, de recommander des films, de détecter des anomalies dans des données massives. Toute matrice peut être décomposée en trois matrices plus simples : U, Σ et V^T.

Les vecteurs propres révèlent les directions privilégiées d'une transformation. Dans l'analyse en composantes principales (PCA), ils identifient les axes de variance maximale dans un nuage de points. C'est ainsi que l'on réduit des données à 1000 dimensions en 2D visualisables sans perdre l'essentiel de l'information.

Les produits scalaires mesurent la similarité entre vecteurs. Deux vecteurs orthogonaux (produit scalaire nul) sont totalement indépendants. C'est le principe des bases orthonormées qui simplifient tous les calculs. Dans l'espace de Hilbert, cette idée s'étend à l'infini : les fonctions deviennent des vecteurs, les intégrales des produits scalaires.

L'algèbre linéaire n'est pas une discipline abstraite réservée aux mathématiciens. C'est l'infrastructure invisible de l'ère numérique : chaque pixel affiché, chaque son joué, chaque prédiction d'IA repose sur des opérations matricielles. Maîtriser les vecteurs, c'est maîtriser le code source de la réalité computationnelle.